POEMS (acronyme de Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation) est une Unité Mixte de Recherche (UMR 72 31), dont les trois tutelles sont le CNRS, l'ENSTA et l'INRIA. Cette unité est à la fois un Projet INRIA (qui fait partie du Centre de Recherche INRIA de Paris-Rocquencourt) et une unité du CNRS, rattachée au Département ST2I, et évaluée par la section 09 du Comité National de la Recherche Scientifique. POEMS a été créé en janvier 2005. Son directeur est Patrick Joly.

Les locaux de l'unité sont répartis sur deux sites, à l'ENSTA (à Paris) et à l'INRIA (à Rocquencourt). Le personnel du laboratoire comprend une quinzaine de chercheurs ou enseignants-chercheurs permanents, un ingénieur CNRS et environ une quinzaine de non permanents (doctorants ou post-doctorants).

Les activités scientifiques de l'unité ont pour objet le développement d'études mathématiques et numériques concernant la propagation des ondes, dans tous les domaines de la mécanique et de la physique, qu'il s'agisse d'ondes électromagnétiques, acoustiques, élastiques ou d'ondes de gravité.

Les travaux réalisés ont trait à la modélisation de problèmes complexes, à l'analyse mathématique des modèles obtenus (généralement gouvernés par des Equations aux Dérivées Partielles), au développement de méthodes d'approximation et à la réalisation de codes de calcul.

Nos principaux thèmes de recherche sont les suivants :

Le laboratoire a acquis des compétences largement reconnues dans le domaine des méthodes numériques d'ordre élevé pour la simulation d'ondes transitoires. Les schémas utilisés étant explicites, de nombreux travaux concernent les techniques de condensation de la matrice de masse qui en assurent l'efficacité. Par ailleurs, la méthode dite des domaines fictifs permet de traiter des géométries complexes à l'aide d'un maillage régulier.

Les objectifs actuellement poursuivis concernent la condensation de masse pour les éléments d'arête en électromagnétisme, les techniques de raffinement de maillage espace-temps et le traitement de fissures en élastodynamique, avec prise en compte de conditions de contact unilatéral.

Une alternative à ces méthodes est actuellement développée : elle consiste à représenter l'onde transitoire comme une superposition d'ondes périodiques en temps associées aux résonances complexes du problème. Ceci pourrait permettre à terme de développer des techniques temps réel pour la stabilisation des navires.

Les problèmes d'ondes étant généralement posés dans des domaines non bornés, les conditions aux limites imposées sur les frontières artificielles du domaine de calcul doivent être choisies soigneusement, afin d'éviter les réflexions parasites tout en préservant la stabilité de la méthode d'approximation.

La première consiste à borner le domaine de calcul par des frontières artificielles sur lesquelles on écrit une condition aux limites dite transparente, c'est à dire une condition exacte telle que la frontière artificielle ne produit aucune réflexion. Cette condition peut en général s'exprimer à l'aide de l'opérateur de Dirichlet-Neumann. En régime harmonique il s'agit d'une condition qui, bien que non locale sur la frontière absorbante, est souvent utilisée en pratique pour un calcul par éléments finis. Par contre en régime transitoire cette condition devient également non locale en temps et il est alors souvent utile d'en définir des approximations locales (voir néanmoins les travaux sur le couplage avec les méthodes de potentiels retardés) appelées conditions aux limites absorbantes (CLA).

La deuxième approche consiste à entourer le domaine de calcul d'un milieu artificiel dans lequel les ondes sont atténuées, appelé couches absorbantes. Cette technique est en fait antérieure à celle des CLA et consistait avant 1994 à définir dans ces couches un modèle absorbant physique, ce qui donnait naissance à une réflexion parasite entre le domaine physique et la couche. Depuis 1994, Bérenger a introduit, pour les équations de Maxwell en régime transitoire, un nouveau modèle de couches dites parfaitement adaptées (en anglais Perfectly Matched Layers, PML) car aucune réflexion n'est créée à l'entrée dans la couche. Depuis, les PML ont été largement utilisées, étendues à d'autres équations, étudiées etc... surtout en régime transitoire et un peu en régime harmonique.

Nos travaux concernent ces deux approches, et sont essentiellement de deux natures:

• Le développement et l'analyse de nouveaux types de conditions aux limites, par exemple pour des problèmes pour lesquels il n'existait pas d'alternative (PML en fréquentiel pour les équations de Galbrun, PML et éléments finis localisés pour les guides d'ondes élastiques) ou pour lesquels les alternatives n'étaient pas complètement satisfaisantes (PML pour l'acoustique en écoulement transitoire).
• L'analyse de méthodes classiques ou déjà existantes (analyse de stabilité des PMLs, études des CLA et des PML par la méthode de Cagniard de Hoop).

Notons que, même si la problématique de départ est la même pour les problèmes en régime harmonique ou transitoire, les questions soulevées ne sont pas identiques. Cette différence est bien illustrée par nos travaux sur l'acoustique en écoulement en régimes transitoire et harmonique. Dans le premier cas, les PML ``classiques'' conduisent à des instabilités, ce qui nous a conduits à introduire un nouveau modèle de couches. Alors que dans le deuxième cas, le modèle classique permet d'obtenir une bonne approximation de la solution.

Le laboratoire a acquis dans ce domaine une compétence reconnue : les travaux déjà effectués concernent d'une part l'analyse modale des guides ouverts (fibres ou micro-guides optiques, guides topographiques pour la houle ou les ondes sismiques etc..) et d'autre part l'optimisation de forme de guides fermés. Les objectifs à venir concernent les guides non-uniformes. Les travaux seront poursuivis dans deux directions :

• La simulation des jonctions de guides ouverts par une méthode de raccord modal généralisé.
• Le développement de méthodes modales dans les guides fermés à section lentement variable.

Les domaines d'application visés sont la micro-électronique et la micro-optique intégrées en ce qui concerne les ondes électromagnétiques, et le contrôle non destructif (CND) en ce qui concerne les ondes élasto-acoustiques.

Il s'agit d'étudier la propagation du son dans un milieu en écoulement. Les problèmes mathématiques et numériques posés sont difficiles, étroitement liées à des questions de modélisation. Leur résolution est un enjeu industriel majeur. Les secteurs principalement concernés sont ceux de l'aéronautique, de l'automobile et du nucléaire.

L'objectif poursuivi actuellement est le développement de méthodes numériques robustes pour la résolution des équations linéarisées de l'acoustique (équations d'Euler linéarisées ou équations de Galbrun), en présence d'un écoulement moyen, en régimes transitoire et fréquentiel.

De nombreuses applications requièrent la modélisation de la propagation acoustique dans un fluide compressible en présence d'un solide élastique. Les problèmes abordés en régime harmonique concernent les phénomènes de résonance ou d?instabilité ; le régime transitoire soulève quant à lui des questions intéressantes relatives au couplage de différentes méthodes.

Parmi les applications, on peut citer la modélisation d'instruments de musique et dans le domaine médical, l'aide au diagnostic de l?ostéoporose par ultrasons.

Ce thème concerne le développement de modèles asymptotiques et/ou homogénéisés pour les problèmes de propagation d'ondes en présence de couches minces et/ou périodiques, de structures filaires ou de fentes minces. Les modèles effectifs obtenus doivent permettre d'éviter le recours à un raffinement de maillage et de développer des méthodes numériques stables. Les travaux en cours portent d'une part sur la simulation de la propagation en présence de fentes très minces et d'autre part sur la modélisation de tubes perforés dans les silencieux d'échappements automobiles.

Le laboratoire s'intéresse également aux questions liées à la détection et/ou l'identification d'un objet diffractant à partir de la mesure du champ lointain diffracté par l'objet lorsque celui-ci est éclairé par une onde monochromatique. Les domaines d'application sont très variés : imagerie médicale, contrôle non destructif, détection radar, etc..

Les travaux actuels portent sur deux approches distinctes :

• La Linear Sampling Method permet de retrouver le support de l'objet diffractant sans connaissance préalable de sa nature (réfléchissant, absorbant, pénétrable).
• La méthode de Diagonalisation de l'Opérateur de Retournement Temporel permet quant à elle de déterminer les ondes incidentes qui focalisent au mieux sur le ou les obstacles.

Les objectifs poursuivis concernent d'une part la compréhension théorique de ces méthodes, qui reste aujourd'hui incomplète, ainsi que leur mise en ?uvre numérique.

Le laboratoire a développé, en collaboration avec Daniel Martin de l'IRMAR (Rennes), un code de recherche appelé Mélina (http://anum-maths.univ-rennes1.fr/melina/) Il s'agit d'une bibliothèque de procédures pour la résolution, par la méthode des éléments finis, de problèmes aux limites gouvernés par des équations aux dérivées partielles, en dimension 2 ou 3.

Ce code fournit un ensemble d'outils aisément manipulables pour écrire rapidement des applications pour le traitement numérique de problèmes nouveaux et la mise au point d'algorithmes originaux.

Les travaux actuels concernent le projet de refonte du code dans un langage orienté objets, tel que C++.

Les chercheurs et enseignants-chercheurs du POems participent depuis toujours à de nombreux enseignements, à l'ENSTA et dans plusieurs Masters.

Le groupe POems a la responsabilité d'un cours de tronc commun en 1ère année, portant sur les outils fondamentaux d'analyse (distributions, transformation de Fourier, espaces de Hilbert..) . En deuxième année, nous donnons depuis plus de 10 ans un cours sur les méthodes numériques pour la résolution des équations aux dérivées partielles (éléments finis et différences finies), qui s'inscrit aujourd'hui dans la filière "Simulation et Ingénierie Mathématique". Par ailleurs, Marc Lenoir a conçu et organisé un module électif de théorie spectrale (84 heures de cours et TD), destiné aux élèves de 2ème année. Cet enseignement, auquel ont participé plusieurs membres du laboratoire, est étroitement lié à nos préoccupations de recherche (théorie modale des guides d'ondes, résonances etc..).

Enfin, nous animons deux modules optionnels de troisième année, l'un portant sur les ondes et le second sur les méthodes numériques. Il s'inscrivent tous deux dans le cadre de la filière "Modélisation des systèmes" dont Marc Lenoir est responsable.

Nous intervenons également de façon régulière dans les cours d'une semaine organisés par l'INRIA à l'attention des chercheurs.

Le groupe SMP de l'ENSTA était associé depuis 1977 au CNRS dans le département des Sciences pour l'Ingénieur (SPI). Il est évalué par la section 09 du Comité National de la Recherche Scientifique .

Depuis le 1er janvier 2005, le SMP et le Projet Ondes de l'INRIA se sont réunis pour constituer ensemble une Unité Mixte de Recherches, dont les trois tutelles sont le CNRS, l'ENSTA et l'INRIA. Il s'agit de l'UMR 7231 et son nom est : POEMS.