Détails du cours AO102

Dynamical Systems

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Identité du cours

Sigle : AO102
Titre français : Systèmes Dynamiques: Analyse et Stabilité
Titre anglais : Dynamical Systems
Méta infos : modifiée le : 12/10/2016   par : fjean   Nb de visiteurs : 1887   annee : 1A      periode : 1      Rattachement/module : TC      ECTS : 1.75      type : unknown     
ouvert : Oui     modif. autorisée : Oui     email auto. au responsable : Non     à évaluer : Oui     en ligne : Non    
domaine ParisTech : 1,1a,1b    

Equipe pédagogique

Responsable (login) :
Professeur principal :
Professeurs participants : Frédéric JEAN,   
Maitres de conférences : Frédéric JEAN,    Mario SIGALOTTI,    Geoffrey BECK,    Antoine BENSALAH,    Arnaud RECOQUILLAY,    Riccardo BONALLI,   

Contenu

a pour prérequis : Aucun
est prérequis pour : Cours de 2A MAP-AUT1 & MAP-AUT2, Parcours de 3A "Optimisation, Recherche
Opérationnelle Commande des systèmes"
Objectifs :

1. Descriptif

Les systèmes dynamiques sont les modèles mathématiques des phénomènes évoluant dans le temps, ces phénomènes pouvant provenir de la physique, la mécanique, l'économie, la biologie, l'écologie, la chimie... Un système dynamique est constitué d'un espace de phases, l'espace des états possibles du phénomène convenablement paramétré, muni d'une loi d'évolution qui décrit la variation temporelle de l'état du système. Dans le cadre de ce cours (lois déterministes, en temps continu), cette loi d'évolution prend la forme d'une équation différentielle. La résolution explicite, ou même approchée, d’une équation différentielle est en général impossible. La théorie vise donc plutôt une étude qualitative des phénomènes et cherche en particulier à en comprendre l'évolution à long terme. Le principal objectif de ce cours est d'aborder l'étude générale des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires. L'accent est mis principalement sur la notion de stabilité dont l'importance, pour de nombreux problèmes pratiques, est comparable à celle de la connaissance effective des solutions. En préalable à cette partie, deux séances sont consacrées au calcul différentiel: application linéaire tangente, théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites... Ces concepts sont nécessaires pour la partie du cours qui concerne la linéarisation, mais leur utilité dépasse largement le cadre des équations différentielles.

2.Compétences à acquérir

Être capable de mettre en oeuvre les principales notions et théorèmes du calcul différentiel (calcul de différentielle, théorème des fonctions implicites). Être capable, grâce à la connaissance des principes fondamentaux de la théorie des systèmes dynamiques : - d’étudier le comportement d'une équation différentielle linéaire autonome; - d'analyser le portrait de phase d'une équation différentielle non-linéaire; - d'analyser la stabilité d'un équilibre.

3. Programme des séances

1. Calcul différentiel 2. Calcul différentiel, suite (TD seulement) 3. Théorie générale des équations différentielles 4. Cas linéaire autonome 5. Linéarisation et cas linéaire non autonome 6. Equilibres et stabilité 7. Contrôle de connaissances
Mots clés : Équations différentielles, stabilité
Objectives : The course constitutes an introduction to the study of ordinary differential
equations and control theory. The main objective is to present various concepts
of stability whose importance, for many problems, is comparable with that of the
effective knowledge of the solution.

The course is composed of two parts.

The first one is devoted to differential calculus: differentiability, fixed
point theorems,...

The second part treats linear ordinary differential equations, with constant
coefficients initially, then with general coefficients.

The last part is devoted to the study of the stability of nonlinear ordinary
differential equations. One shows how it can be reduced in certain cases to the
study of the stability of linear ordinary differential equations, using a
technique known as of linearization.
Keywords : Differential equation, stability
Supports : En version papier : le livre "Stabilité et Commande des Systèmes Dynamiques. Cours et exercices corrigés" (Coll. Les Cours, Les Presses de l'ENSTA), les feuilles de TD, les supports de cours. En version électronique : le polycopié version 2011/2012 (cette version correspond au livre) et les supports de cours, qui sont mis en ligne avant chaque séance (voir la programmation détaillée).
Biblio : L'excellent ouvrage "Differential Equations, Dynamical Systems, and an
Introduction to Chaos" complète très bien ce cours, à la fois pour la
théorie et les applications. Il est disponible en consultation en ligne pour
les membres de l'ENSTA, https://www.dawsonera.com/abstract/9780080491141
Contrôle : - Examen écrit SANS DOCUMENTS, excepté une feuille "aide-mémoire" de notes de
cours. Cette feuille, manuscrite, pourra être établie par chaque élève à sa
convenance.

- Un devoir maison sur le Calcul Différentiel sera donné à la séance 2 pour
la séance 3. Il rapportera 2 points de bonus.

Nota: L'examen de rattrapage consiste en un écrit de 1h30 SANS AUCUN DOCUMENT
(pas de feuille "aide-mémoire"). Il devrait avoir lieu après les vacances
d'hiver (date à préciser).

Besoins particuliers et remarques éventuelles

Moyens :
Commentaires :

Séances

mar. 13 sept. 2016   - 08:30 à 10:00 : Cours Magistral (CM)
programme : Calcul différentiel (chap. 1 du polycopié) Support de cours de la séance 1 (version imprimable)
besoin : Vidéo,
Intervenants : Frédéric JEAN,
mar. 13 sept. 2016   - 10:15 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : Frédéric JEAN, Mario SIGALOTTI, Geoffrey BECK, Antoine BENSALAH, Arnaud RECOQUILLAY, Riccardo BONALLI,
mar. 20 sept. 2016   - 08:30 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Exercices de calcul différentiel Corrigé du DM
besoin :
Intervenants : Frédéric JEAN, Mario SIGALOTTI, Geoffrey BECK, Antoine BENSALAH, Arnaud RECOQUILLAY, Riccardo BONALLI,
mar. 27 sept. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Résultats généraux sur les équations différentielles (sections 4.1, 4.2 et 4.3 du polycopié) Support de cours de la séance 3 (version imprimable)
besoin : Vidéo,
Intervenants : Frédéric JEAN,
mar. 27 sept. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : Frédéric JEAN, Mario SIGALOTTI, Geoffrey BECK, Antoine BENSALAH, Arnaud RECOQUILLAY, Riccardo BONALLI,
mar. 04 oct. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Équations différentielles linéaires autonomes (chap. 2 du polycopié) Support de cours de la séance 4 (version imprimable)
besoin : Vidéo,
Intervenants : Frédéric JEAN,
mar. 04 oct. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : Frédéric JEAN, Mario SIGALOTTI, Geoffrey BECK, Antoine BENSALAH, Arnaud RECOQUILLAY, Riccardo BONALLI,
mar. 11 oct. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Équations linéarisées, équations linéaires non autonomes (section 4.4 et chap. 3 du polycopié) Support de cours de la séance 5 (version imprimable)
besoin : Vidéo,
Intervenants : Frédéric JEAN,
mar. 11 oct. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : Frédéric JEAN, Mario SIGALOTTI, Geoffrey BECK, Antoine BENSALAH, Arnaud RECOQUILLAY, Riccardo BONALLI,
mar. 18 oct. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Stabilité des équilibres: approche par linéarisation, fonctions de Lyapunov (section 4.4 et chap. 5 du polycopié) Support de cours de la séance 6 (version imprimable)
besoin : Vidéo,
Intervenants : Frédéric JEAN,
mar. 18 oct. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : Frédéric JEAN, Mario SIGALOTTI, Geoffrey BECK, Antoine BENSALAH, Arnaud RECOQUILLAY, Riccardo BONALLI,
mar. 08 nov. 2016   - 08:30 à 11:30 : Contrôle (CC)
programme : Examen écrit
besoin :
Intervenants : Frédéric JEAN, Frédéric JEAN, Mario SIGALOTTI, Geoffrey BECK, Antoine BENSALAH, Arnaud RECOQUILLAY, Riccardo BONALLI,