Détails du cours MA102

Elementary tools of analysis for partial differential equations

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Identité du cours

Sigle : MA102
Titre français : Outils élémentaires d'analyse pour les équations aux dérivées partielles
Titre anglais : Elementary tools of analysis for partial differential equations
Méta infos : modifiée le : 05/09/2016   par : bourgeoi   Nb de visiteurs : 1753   annee : 1A      periode : 1      Rattachement/module : TC      ECTS : 3.5      type : unknown     
ouvert : Oui     modif. autorisée : Oui     email auto. au responsable : Oui     à évaluer : Oui     en ligne : Non    
domaine ParisTech : 1,1a,1b    

Equipe pédagogique

Responsable (login) :
Professeur principal :
Professeurs participants : Christophe HAZARD,    Laurent BOURGEOIS,   
Maitres de conférences : Christophe HAZARD,    Laurent BOURGEOIS,    Lucas CHESNEL,    Jean-François MERCIER,    Sébastien IMPERIALE,    Patrick JOLY,    Marc BAKRY,    Antoine Béra,    Sandrine PAOLANTONI,   

Contenu

Objectifs : 1. Descriptif
Le cours d'analyse constitue une introduction à l'analyse fonctionnelle et à
ses applications à l'étude des équations aux dérivées partielles
linéaires. L'objectif de ce cours consiste à familiariser les étudiants avec
quelques-unes des idées essentielles sur lesquelles s'appuie l'étude des
modèles les plus simples de la physique et de la mécanique. Il ne s'agit pas
seulement de fournir des méthodes pour la résolution de ces équations, mais
aussi d'amener à une meilleure compréhension des phénomènes dont elles
constituent le modèle.

Le cours se compose de quatre parties :

La première est consacrée à des rappels de topologie, aux notions de
convergence dans les espaces de fonctions et aux théorèmes essentiels relatifs
à l'intégration. Ces résultats forment la base technique indispensable sur
laquelle s'appuie le reste du cours.

La deuxième partie est consacrée aux distributions, qui généralisent les
fonctions, ainsi qu'aux principales opérations qu'elles supportent :
dérivation et multiplication.

La troisième partie introduit la transformation de Fourier, dans un premier
temps pour les fonctions intégrables, puis pour les fonctions de carré
intégrables.

La quatrième partie est relative à l'application de la méthode variationnelle
à l'étude des équations aux dérivées partielles linéaires, dans le cadre
des espaces de Sobolev. Cette méthode permet en particulier d'apporter une
réponse aux questions d'existence et d'unicité de la solution du problème
posé.

2. Compétences à acquérir.

Être capable d’utiliser certains outils élémentaires pour l’analyse des
équations aux dérivées partielles (EDP) linéaires : l’intégrale de
Lebesgue, les distributions, leur convolution, leur transformée de Fourier, les
espaces de Sobolev, et enfin la notion de formulation variationnelle des EDP
elliptiques.

3. Programme des séances.

- Convergence dans les espaces de fonctions
- La théorie de l'intégrale de Lebesgue
- Intégrales multiples, convolution
- Outils pratiques pour l'intégration
- Les distributions - Introduction
- Opérations élémentaires sur les distributions
- La transformation de Fourier des fonctions intégrables
- La transformation de Fourier des fonctions de carré intégrable
- Espaces de Hilbert
- Espaces de Sobolev
- Introduction aux formulations variationnelles
- Exemples de problèmes variationnels
Mots clés : intégrale de Lebesgue, distributions, transformation de Fourier, espaces de
Hilbert, méthode variationnelle
Objectives : This course constitutes an introduction to the functional analysis and its
applications to the study of the linear partial differential equations. The aim
of this course consists in familiarizing the students with some of the essential
ideas on which the study of the simplest models of physics and mechanics are
based. Our purpose is not only to provide methods for the solution of these
equations, but also to bring to a better comprehension of the modelled
phenomena.

The course is composed of four parts:

The first part is devoted to elementary concepts of topology, to the concepts of
convergence in spaces of functions and to the essential theorems of integration.
These results form the essential technical base on which the remainder of the
course is based.

The second part is devoted to the distributions, which generalize the functions,
and to the principal operations which they support: derivation and
multiplication.

The third part introduces the Fourier transform, first for integrable functions,
then for square-integrable functions.

The fourth part relates to the application of the variational method to the
study of the linear partial differential equations, within the framework of
particular Hilbert spaces, which are the Sobolev spaces. In particular, this
method makes it possible to bring an answer to the questions of existence and
uniqueness for the considered problem.
Keywords : Lebesgue's integral, distributions, Fourier transform, Hilbert spaces,
variational method
Supports : Polycopié, fiches de résumés, textes de petites classes
Biblio :
Contrôle : Partiel et examen écrits, sans documents.

Besoins particuliers et remarques éventuelles

Moyens :
Commentaires :

Séances

lun. 19 sept. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Convergence dans les espaces de fonctions
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
lun. 19 sept. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Convergence dans les espaces de fonctions
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Patrick JOLY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 26 sept. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : La théorie de l'intégrale de Lebesgue
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
lun. 26 sept. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : La théorie de l'intégrale de Lebesgue
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Patrick JOLY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 03 oct. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Intégrales multiples, convolution
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
lun. 03 oct. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Intégrales multiples, convolution
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Patrick JOLY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 10 oct. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Outils pratiques pour l'intégration
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
lun. 10 oct. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Outils pratiques pour l'intégration
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Patrick JOLY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 17 oct. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Les distributions - Introduction
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
lun. 17 oct. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Les distributions - Introduction
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Patrick JOLY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 07 nov. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Opérations élémentaires sur les distributions
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
lun. 07 nov. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Opérations élémentaires sur les distributions
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Patrick JOLY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 14 nov. 2016   - 09:30 à 11:30 : Contrôle (CC)
programme : Partiel
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Patrick JOLY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 21 nov. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : La transformation de Fourier des fonctions intégrables
besoin :
Intervenants : Laurent BOURGEOIS,
lun. 21 nov. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : La transformation de Fourier des fonctions intégrables
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Marc BAKRY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 28 nov. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : La transformation de Fourier des fonctions de carré intégrable
besoin :
Intervenants : Laurent BOURGEOIS,
lun. 28 nov. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : La transformation de Fourier des fonctions de carré intégrable
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Marc BAKRY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 05 déc. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Espaces de Hilbert.
besoin :
Intervenants : Laurent BOURGEOIS,
lun. 05 déc. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Espaces de Hilbert.
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Marc BAKRY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 12 déc. 2016   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Espaces de Sobolev
besoin :
Intervenants : Laurent BOURGEOIS,
lun. 12 déc. 2016   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Espaces de Sobolev
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Marc BAKRY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 09 janv. 2017   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Introduction aux formulations variationnelles
besoin :
Intervenants : Laurent BOURGEOIS,
lun. 09 janv. 2017   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Introduction aux formulations variationnelles
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Marc BAKRY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 16 janv. 2017   - 08:30 à 09:30 : Cours Magistral (CM)
programme : Exemples de problèmes variationnels
besoin :
Intervenants : Laurent BOURGEOIS,
lun. 16 janv. 2017   - 09:45 à 11:45 : Petite Classe (PC)
programme : Exemples de problèmes variationnels
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Marc BAKRY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,
lun. 23 janv. 2017   - 08:30 à 11:45 : Contrôle (CC)
programme :
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD, Laurent BOURGEOIS, Lucas CHESNEL, Jean-François MERCIER, Sébastien IMPERIALE, Marc BAKRY, Antoine Béra, Sandrine PAOLANTONI,