Détails du cours MA103

Introduction to partial differential equations discretization

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Identité du cours

Sigle : MA103
Titre français : Introduction à la discrétisation des équations aux dérivées partielles
Titre anglais : Introduction to partial differential equations discretization
Méta infos : modifiée le : 04/05/2017   par : fliss   Nb de visiteurs : 1   annee : 1A      periode : 1      Rattachement/module : TC      unités : 1      ECTS : 1.75      type : unknown     
ouvert : Oui     modif. autorisée : Oui     email auto. au responsable : Oui     à évaluer : Oui     en ligne : Non    
domaine ParisTech : 1,1a,1b    

Equipe pédagogique

Responsable (login) :
Professeur principal :
Professeurs participants : Patrick JOLY,   
Maitres de conférences : François FEVOTTE,    Sonia FLISS,    Philippe MOIREAU,    Patrick JOLY,    Stéphanie CHAILLAT,    Adrien LOSEILLE,    Sandrine PAOLANTONI,    Antoine Béra,    Alexandre Imperiale,   

Contenu

a pour prérequis : MA102 AO103
Objectifs : 1)Objectifs:
Ce cours est centré sur la méthode des différences finies pour
l'approximation des équations aux dérivées partielles de la physique
(elliptiques, paraboliques et hyperboliques). C'est cette dernière classe
d'équations qui fait l'objet de ce cours. Nous abordons les problèmes
linéaires et non linéaires. L'objectif est alors de

- Introduire, sur des exemples modèles relativement simples, quelques
propriétés essentielles des solutions de ces équations;

- Donner les bases de la méthode des différences finies, introduire les
notions de schémas explicite et implicite;

- Sensibiliser les élèves aux notions de consistance, stabilité et
convergence d'un schéma numérique;

Les deux autres catégories d'équations seront abordés dans deux cours de
deuxième année sur la méthode des éléments finis (MA201 et MA 206).

2) Compétences à acquérir

Être capable d’étudier solutions des équations aux dérivées partielles
hyperboliques, linéaires ou non et être capable d’analyser la méthode des
différences finies pour l'approximation de ces équations à travers les
notions de consistance, de stabilité et de convergence pour des schémas
explicites ou implicites.

3) Programme des séances

Cours 1: EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
-Motivations
-Equation de transport à coefficients constants
-Systèmes hyperboliques à coefficients constants
INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES
-Généralités sur le calcul numérique
-Principe des différences finies

TD1: EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES
-Equation d'advection avec un terme d'absorption
-Equation d'advection avec condition au bord
-Equation des ondes

Cours 2: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS
HYPERBOLIQUES LINEAIRES
Construction du schéma centré pour l'équation d'avection
- Ordre/ Erreur de troncature
- Définition de la stabilité L^2 et analyse par la méthode de Fourier
Schéma de Lax Friedrichs
- Condition CFL
- Définition de la convergence

TD2: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS
HYPERBOLIQUES LINEAIRES
- Schémas numériques pour l'équation de transport
- Schéma de Lax-Wendroff
- Un schéma pour l'équation des ondes

Cours 3: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS
HYPERBOLIQUES LINEAIRES
PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES
Equation de transport à coefficients variables
PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Solution classique
Méthode des caractéristiques
Explosion en temps fini

TD3: INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS
HYPERBOLIQUES LINEAIRES
- Un schéma pour l'équation des ondes
- Étude du schéma de Newmark par méthode énergétique

Cours 4: PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Notion de solution faible
Solution C^1pm (Relation de Rankine Hugoniot)
Non-unicité des solutions faibles
Notion de solution faible entropie

TD4: PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES
- Equation de transport à coefficients variables
PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
- Solution classique
- Construction de l'onde de détente
- Naissance de l'onde de choc
- Non unicité des solutions faibles

Cours 5: PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Théorème d'existence/unicité
Propriétés de monotonie
Le problème de Riemann à 2 états dans le cas f convexe et f non convexe
- Solutions auto-similaires
- Formes des solutions

TD5 : PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
- Problème de Riemann à 2 et 3 états

Cours 6: SCHEMAS NUMERIQUES POUR LES EQUATIONS HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
- Introduction aux schémas numériques
- Notion de schéma à 3 points, schéma conservatif, schéma entropique,
schéma monotone
- Un exemple : le schéma de godunov

TD6 : SCHEMAS NUMERIQUES POUR LES EQUATIONS HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES
Séance de travaux pratiques
Mots clés : différences finies, EDP, consistance, stabilité, convergence
Objectives : This lecture mainly deals with finite difference schemes to approximate main
partial differential equations of physics (elliptic, parabolic and hyperbolic
PDE). There are few objectives :
- to introduce from simple examples some fundamental properties of solutions
- to give the basics of finite difference schemes (explicit and implicit)
- to give notions of consistancy, stability and convergence
Keywords : finite differences, PDE, Consistency, stability, convergence
Supports :
Biblio :
Contrôle : examen écrit

Besoins particuliers et remarques éventuelles

Moyens :
Commentaires :

Séances

lun. 22 mai 2017   - 9h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES -Motivations -Equation de transport à coefficients constants -Systèmes hyperboliques à coefficients constants INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES -Généralités sur le calcul numérique -Principe des différences finies
besoin : Vidéo,
Intervenants : Patrick JOLY,
lun. 22 mai 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES -Equation d'advection avec un terme d'absorption -Equation d'advection avec condition au bord -Equation des ondes
besoin :
Intervenants : François FEVOTTE, Sonia FLISS, Philippe MOIREAU, Patrick JOLY, Sandrine PAOLANTONI, Antoine Béra, Alexandre Imperiale,
lun. 29 mai 2017   - 9h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES Construction du schéma centré pour l'équation d'avection - Ordre/ Erreur de troncature - Définition de la stabilité L^2 et analyse par la méthode de Fourier Schéma de Lax Friedrichs - Condition CFL - Définition de la convergence
besoin : Vidéo,
Intervenants : Patrick JOLY,
lun. 29 mai 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES - Schémas numériques pour l'équation de transport - Schéma de Lax-Wendroff - Un schéma pour l'équation des ondes
besoin :
Intervenants : François FEVOTTE, Sonia FLISS, Philippe MOIREAU, Patrick JOLY, Sandrine PAOLANTONI, Antoine Béra, Alexandre Imperiale,
jeu. 01 juin 2017   - 9h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES Equation de transport à coefficients variables PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES Solution classique Méthode des caractéristiques Explosion en temps fini
besoin : Vidéo,
Intervenants : Patrick JOLY,
jeu. 01 juin 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : INTRODUCTION AUX DIFFERENCES FINIES ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS HYPERBOLIQUES LINEAIRES - Un schéma pour l'équation des ondes - Étude du schéma de Newmark par méthode énergétique
besoin :
Intervenants : François FEVOTTE, Sonia FLISS, Philippe MOIREAU, Patrick JOLY, Sandrine PAOLANTONI, Antoine Béra, Alexandre Imperiale,
mar. 06 juin 2017   - 13h30 à 14h30 : Cours Magistral (CM)
programme : PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES Notion de solution faible Solution C^1pm (Relation de Rankine Hugoniot) Non-unicité des solutions faibles Notion de solution faible entropique
besoin : Vidéo,
Intervenants : Patrick JOLY,
mar. 06 juin 2017   - 14h45 à 16h45 : Petite Classe (PC)
programme : PROBLEMES HYPERBOLIQUES LINEAIRES - Equation de transport à coefficients variables PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES - Solution classique - Construction de l'onde de détente - Naissance de l'onde de choc - Non unicité des solutions faibles
besoin :
Intervenants : François FEVOTTE, Sonia FLISS, Philippe MOIREAU, Patrick JOLY, Stéphanie CHAILLAT, Adrien LOSEILLE, Antoine Béra,
lun. 12 juin 2017   - 9h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES Théorème d'existence/unicité Propriétés de monotonie Le problème de Riemann à 2 états dans le cas f convexe et f non convexe - Solutions auto-similaires - Formes des solutions
besoin : Vidéo,
Intervenants : Patrick JOLY,
lun. 12 juin 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : PROBLEMES HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES - Problème de Riemann à 2 et 3 états
besoin :
Intervenants : François FEVOTTE, Sonia FLISS, Philippe MOIREAU, Patrick JOLY, Sandrine PAOLANTONI, Antoine Béra, Alexandre Imperiale,
lun. 19 juin 2017   - 9h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : SCHEMAS NUMERIQUES POUR LES EQUATIONS HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES - Introduction aux schémas numériques - Notion de schéma à 3 points, schéma conservatif, schéma entropique, schéma monotone - Un exemple : le schéma de godunov
besoin : Vidéo,
Intervenants : Patrick JOLY, Alexandre Imperiale,
lun. 19 juin 2017   - 10h15 à 12h15 : TD en salle info (TD)
programme : SCHEMAS NUMERIQUES POUR LES EQUATIONS HYPERBOLIQUES NON LINEAIRES Séance de travaux pratiques
besoin :
Intervenants : Sonia FLISS, Philippe MOIREAU, Patrick JOLY, Adrien LOSEILLE, Sandrine PAOLANTONI, Antoine Béra, Alexandre Imperiale,
lun. 26 juin 2017   - 09h00 à 12h00 : Contrôle (CC)
programme : Examen écrit
besoin :
Intervenants : Patrick JOLY, François FEVOTTE, Sonia FLISS, Philippe MOIREAU, Patrick JOLY, Sandrine PAOLANTONI, Antoine Béra, Alexandre Imperiale,