Détails du cours MAE21

Spectral theory and physical applications

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Identité du cours

Sigle : MAE21
Titre français : Théorie spectrale et applications physiques
Titre anglais : Spectral theory and physical applications
Méta infos : modifiée le : 24/02/2017   par : hazard   Nb de visiteurs : 162   annee : 2A      periode : 1      Rattachement/module : ModEl      unités : 2      ECTS : 3      type : unknown     
ouvert : Oui     modif. autorisée : Oui     email auto. au responsable : Non     à évaluer : Oui     en ligne : Non    
domaine ParisTech : 1,1b    

Equipe pédagogique

Responsable (login) :
Professeur principal :
Professeurs participants : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,    Christophe HAZARD,    Jean-François MERCIER,   
Maitres de conférences : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,    Christophe HAZARD,    Jean-François MERCIER,   

Contenu

a pour prérequis : MA 102
Objectifs :

1. Descriptif

Nous introduirons dans ce cours les principales notions mathématiques relatives à l'étude du spectre d'un opérateur autoadjoint. Ce spectre peut comporter à la fois une partie continue et une partie discrète, formée de valeurs propres. Nous montrerons que le Principe du Min-Max permet d'accéder à des informations qualitatives et quantitatives très précises sur ces valeurs propres (résultats d'existence, encadrement). Tout au long du cours, nous montrerons comment cette théorie s'applique à divers problèmes physiques, notamment à l'étude des guides d'ondes. Nous nous intéresserons plus particulièrement à l'étude des guides dits ouverts, dont la fibre optique constitue un exemple important.

2.Compétences à acquérir

Être capable de mettre en oeuvre les principales notions et théorèmes de la théorie spectrale sur divers modèles de propagation d'ondes.

3. Programme des séances

1. Cours : Introduction aux guides d'ondes. La notion d'opérateur non borné. / TD : Exemples monodimensionnels de guides d'ondes. Exemples d’opérateurs bornés ou non bornés, fermés ou non fermés, calcul d’adjoints. 2. Cours : Opérateurs autoadjoints : définition et caractérisation. Ensemble résolvant et spectre (ponctuel, résiduel, continu). / TD : Caractère autoadjoint de l’opérateur scalaire des modes guidés. Spectre de l’opérateur de multiplication dans L2. Spectre de l’opérateur de translation sur l2. 3. Cours : Notions de compacité et de convergence faible dans un espace de Hilbert. Opérateurs compacts ou à résolvante compacte. / TD : Exercices. 4. Cours : Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints compacts. / TD : Applications. 5. Cours : Étude des guides d’ondes fermés. / TD : Formules de min-max. 6. Cours : Spectre des opérateurs autoadjoints non compacts : définition et caractérisation du spectre essentiel. / TD : Démonstration du théorème de Weyl. Détermination du spectre essentiel pour le problème de la fibre optique. 7. Cours : Spectre des opérateurs autoadjoints non compacts : relations entre l’image numérique et le spectre, application à la preuve de l’existence de valeurs propres. / TD : Etude du mode fondamental d’une fibre optique. 8. Cours : Principe du Min-Max. / TD : Principe de comparaison de Dirichlet. 9. Cours : Le théorème spectral : décomposition spectrale d’un opérateur autoadjoint. TD : La formule de Stone. 10 : Réinventer la transformée de Fourier. 11 : Séance de révision. 12 : Examen final
Mots clés : opérateur autoadjoint, compacité, spectre discret, spectre essentiel,
principe du min-max
Objectives : We introduce the main mathematical notions related to the spectral theory of
self-adjoint operators. This spectrum may contain both a continuous and a
discrete part, composed of eigenvalues. We will show how the Min-Max Principle
provides precise qualitative and quantitative informations on these eigenvalues
(existence results, upper and lower bounds).
We will illustrate this theory by its application to waveguides, especially to
open waveguides as the optical fiber.
Keywords : selfadjoint operator, compactness, discrete spectrum, essential spectrum,
min-max principle
Supports : polycopié et énoncés de TD
Biblio :
Contrôle : Contrôle écrit de 3h

Besoins particuliers et remarques éventuelles

Moyens :
Commentaires :

Séances

lun. 13 mars 2017   - 13h30 à 14h30 : Cours Magistral (CM)
programme : Introduction aux guides d'ondes. Introduction aux opérateurs non bornés.
besoin :
Intervenants : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,
lun. 13 mars 2017   - 14h45 à 16h45 : Petite Classe (PC)
programme : Exemples monodimensionnels de guides d'ondes. Exemples d’opérateurs bornés ou non bornés, fermés ou non fermés, calcul d’adjoints.
besoin :
Intervenants : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,
lun. 20 mars 2017   - 09h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : Opérateurs autoadjoints : définition et caractérisation. Ensemble résolvant et spectre (ponctuel, résiduel, continu).
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
lun. 20 mars 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : Caractère autoadjoint de l’opérateur scalaire des modes guidés. Spectre de l’opérateur de multiplication dans L2. Spectre de l’opérateur de translation sur l2.
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
jeu. 23 mars 2017   - 09h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : Notions de compacité et de convergence faible dans un espace de Hilbert. Opérateurs compacts ou à résolvante compacte.
besoin :
Intervenants : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,
jeu. 23 mars 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : Exercices.
besoin :
Intervenants : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,
lun. 27 mars 2017   - 09h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints compacts.
besoin :
Intervenants : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,
lun. 27 mars 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : Applications.
besoin :
Intervenants : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,
jeu. 30 mars 2017   - 09h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : Étude des guides d’ondes fermés.
besoin :
Intervenants : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,
jeu. 30 mars 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : Formules de min-max.
besoin :
Intervenants : Anne-Sophie BONNET-BEN DHIA,
lun. 03 avril 2017   - 09h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : Spectre des opérateurs autoadjoints non compacts : définition et caractérisation du spectre essentiel.
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
lun. 03 avril 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : Démonstration du théorème de Weyl. Détermination du spectre essentiel pour le problème de la fibre optique.
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
jeu. 06 avril 2017   - 09h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : Spectre des opérateurs autoadjoints non compacts : relations entre l’image numérique et le spectre, application à la preuve de l’existence de valeurs propres.
besoin :
Intervenants : Jean-François MERCIER,
jeu. 06 avril 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : Etude du mode fondamental d’une fibre optique.
besoin :
Intervenants : Jean-François MERCIER,
jeu. 20 avril 2017   - 09h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : Principe du Min-Max.
besoin :
Intervenants : Jean-François MERCIER,
jeu. 20 avril 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : Principe de comparaison de Dirichlet.
besoin :
Intervenants : Jean-François MERCIER,
lun. 24 avril 2017   - 09h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : Le théorème spectral : décomposition spectrale d’un opérateur autoadjoint.
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
lun. 24 avril 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : La formule de Stone
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
jeu. 27 avril 2017   - 09h00 à 10h00 : Cours Magistral (CM)
programme : Réinventer la transformée de Fourier
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
jeu. 27 avril 2017   - 10h15 à 12h15 : Petite Classe (PC)
programme : Réinventer la transformée de Fourier
besoin :
Intervenants : Christophe HAZARD,
mar. 02 mai 2017   - 13h30 à 14h40 : Cours Magistral (CM)
programme : Séance de révision
besoin :
Intervenants : Jean-François MERCIER,
mar. 02 mai 2017   - 14h45 à 16h45 : Petite Classe (PC)
programme : Séance de révision
besoin :
Intervenants : Jean-François MERCIER,
jeu. 04 mai 2017   - 9h à 12h : Contrôle (CC)
programme :
besoin :
Intervenants : Jean-François MERCIER,