Détails du cours MAP-PRB1

Markov chains

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Identité du cours

Sigle : MAP-PRB1
Titre français : Chaînes de Markov [V1C]
Titre anglais : Markov chains
Méta infos : modifiée le : 06/09/2016   par : fjean   Nb de visiteurs : 1988   annee : 2A      periode : 1      Rattachement/module : voie      unités : 1      ECTS : 2      type : unknown     
ouvert : Oui     modif. autorisée : Oui     email auto. au responsable : Oui     à évaluer : Oui     en ligne : Non    
domaine ParisTech : 1b,1c    

Equipe pédagogique

Responsable (login) :
Professeur principal :
Professeurs participants : Yohann DE CASTRO,   
Maitres de conférences : David LEFÈVRE,    Yohann DE CASTRO,    Adrien BARRASSO,    Olivier HÉNARD,   

Contenu

a pour prérequis : MA101
est prérequis pour : Enseignements utilisant directement ce cours: MAP-PRB2 et MAP-PRB3, modules
électifs MAE10 et MAE40
Objectifs :

1. Descriptif

La théorie des chaînes de Markov fournit un cadre mathématique rigoureux pour décrire une certaine classe d'évolutions aléatoires. Ces évolutions se déroulent en temps discret et sont à valeurs dans un espace discret. Le hasard y intervient de telle sorte que le seul élément utile pour évaluer de façon probabiliste l'évolution dans le futur, que l'on puisse tirer de l'observation du passé, est l'état du présent. On dit qu'il s'agit d'une propriété d'"oubli" du passé sachant le présent. Cette théorie intervient couramment dans des modèles mathématiques issus de problèmes concrets de nombreux domaines appliqués, aussi bien scientifiques que techniques. Nous en donnerons les éléments principaux, qui permettent d'analyser ces modèles et de leur apporter des résultats qualitatifs et quantitatifs, ces derniers de façon exacte ou approchée. Remarque: ce cours compte pour 3 ECTs pour l'obtention du M1-Mathématiques Appliquées

2.Compétences à acquérir

Être capable, grâce à la connaissance des principaux éléments de la théorie des chaînes de Markov : - d’analyser ce type de modèle (discrets en temps et en espace); - d’apporter des résultats qualitatifs et quantitatifs, ces derniers de façon exacte ou approchée.

3. Programme des séances

Nous reprendrons d'abord la notion de conditionnement (rappel de Probabilités). On commencera par étudier les chaînes de Markov sur des espaces d'états finis (irréductibilité, apériodicité, loi stationnaire, et réversibilité). Nous verrons des exemples classiques (Erhenfest, ruine du joueur, marche simple sur un graphe,... ) ainsi que les chaînes de Metropolis et Gaubler (à la base des méthode de simulation) en TD. Puis nous aborderons les propriétés de mélange des chaînes finies (théorème de convergence, temps de mélange, théorème ergodique). Enfin, nous étudierons les chaînes de Markov sur des espaces d'états dénombrables (classification, récurrence, transience, mesures invariantes et comportement asymptotique).
Mots clés : Chaînes de Markov
Objectives : The theory of Markov chains provides a rigorous mathematical framework for
describing a certain class of random evolution. These developments are taking
place in discrete time and are values in a discrete space. Fate intervenes so
that the only useful element in assessing probabilistically changes in the
future that can be drawn from observation of the past, is the state of the
present. It is said that this is a property of "forgetting" the past knowing
this.

This theory commonly occurs in mathematical models from real problems many
applied fields, both scientific and technical. We will give the main elements
that allow to analyze these models and provide them with qualitative and
quantitative results, they exact or approximate way.
Keywords : Markov Chains
Supports : Notes de cours
Biblio : Processus Stochastiques par Foata et Fuchs; Markov Chains and Mixing Times par
Levin, Peres et Wilmer.
Contrôle : Interrogation écrite.
Le polycopié et les notes de cours sont autorisés pour l'examen. Celui-ci ne
portera que sur les parties du polycopié effectivement abordées dans le cours.

Besoins particuliers et remarques éventuelles

Moyens :
Commentaires :

Séances

jeu. 22 sept. 2016   - 10:00 à 11:00 : Cours Magistral (CM)
programme : La notion de chaîne de Markov. Quelques notations. La définition et les marginales fini-dimensionnelles. Les récurrences aléatoires.
besoin :
Intervenants : Yohann DE CASTRO,
jeu. 22 sept. 2016   - 11:15 à 13:15 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : Yohann DE CASTRO, David LEFÈVRE, Yohann DE CASTRO, Adrien BARRASSO, Olivier HÉNARD,
jeu. 29 sept. 2016   - 10:00 à 11:00 : Cours Magistral (CM)
programme : Indépendance du passé et du futur sachant le présent. Temps d'arrêt et propriété de Markov forte. La méthode "un pas en avant" et ses applications.
besoin :
Intervenants : Yohann DE CASTRO,
jeu. 29 sept. 2016   - 11:15 à 13:15 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : David LEFÈVRE, Yohann DE CASTRO, Adrien BARRASSO, Olivier HÉNARD,
jeu. 06 oct. 2016   - 10:00 à 11:00 : Cours Magistral (CM)
programme : Communication et classes fermées irréductibles. Transience et récurrence des états. Lois invariantes et chaînes de Markov à l'équilibre. Mesures invariantes.
besoin :
Intervenants : Yohann DE CASTRO,
jeu. 06 oct. 2016   - 11:15 à 13:15 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : David LEFÈVRE, Yohann DE CASTRO, Adrien BARRASSO, Olivier HÉNARD,
lun. 10 oct. 2016   - 14:00 à 15:00 : Cours Magistral (CM)
programme : Mesure invariante canonique d'une chaîne récurrente. Unicité de la mesure invariante d'une chaîne irréductible récurrente. Récurrence positive, critère de la loi invariante.
besoin :
Intervenants : Yohann DE CASTRO,
lun. 10 oct. 2016   - 15:15 à 17:15 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : David LEFÈVRE, Yohann DE CASTRO, Adrien BARRASSO, Olivier HÉNARD,
jeu. 20 oct. 2016   - 10:00 à 11:00 : Cours Magistral (CM)
programme : Théorèmes asymptotiques en temps grand : Théorème ergodique ponctuel.
besoin :
Intervenants : Yohann DE CASTRO,
jeu. 20 oct. 2016   - 11:15 à 13:15 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : David LEFÈVRE, Yohann DE CASTRO, Adrien BARRASSO, Olivier HÉNARD,
jeu. 03 nov. 2016   - 10:00 à 11:00 : Cours Magistral (CM)
programme : Théorèmes asymptotiques en temps grand : Périodicité, Couplage, Théorème ergodique de Kolmogorov.
besoin :
Intervenants : Yohann DE CASTRO,
jeu. 03 nov. 2016   - 11:15 à 13:15 : Petite Classe (PC)
programme :
besoin :
Intervenants : David LEFÈVRE, Yohann DE CASTRO, Adrien BARRASSO, Olivier HÉNARD,
jeu. 24 nov. 2016   - 09:00 à 12:00 : Contrôle (CC)
programme : Examen écrit.
besoin :
Intervenants : Yohann DE CASTRO, David LEFÈVRE, Yohann DE CASTRO, Adrien BARRASSO, Olivier HÉNARD,