# Convergence results of the fictitious domain method for a mixed formulation of the wave equation with a Neumann boundary condition

2009
Publication type:
Paper in peer-reviewed journals
Journal:
Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 43 (2), pp. 377--398
HAL:
Keywords :
mixed finite elements, fictitious domain method, domain embedding method, acoustic waves, convergence analysis
Abstract:
The problem of modeling acoustic waves scattered by an object with Neumann boundary condition is considered. The boundary condition is taken into account by means of the fictitious domain method, yielding a first order in time mixed variational formulation for the problem. The resulting system is discretized with two families of mixed finite elements that are compatible with mass lumping. We present numerical results illustrating that the Neumann boundary condition on the object is not always correctly taken into account when the first family of mixed finite elements is used. We, therefore, introduce the second family of mixed finite elements for which a theoretical convergence analysis is presented and error estimates are obtained. A numerical study of the convergence is also considered for a particular object geometry which shows that our theoretical error estimates are optimal.
title (translation) :
Analyse de convergence de la méthode de domaines fictifs pour une formulation mixte de l'équation des ondes avec des conditions aux limites de Neumann.
Abstract (translation) :
Ce papier concerne l'analyse de convergence de la m\'ethode des domaines fictifs utilis\'ee pour prendre en compte une condition aux limites de Neumann \`a la surface d'un obstacle dans un probl\`eme de diffraction d'ondes acoustique. Nous consid\'erons une formulation mixte du premier ordre o\`u les inconnues sont la vitesse et la pression. Nous discr\'etisons le syst\`eme avec deux familles d'\'el\'ements finis mixtes compatibles avec la condensation de masse et nous les couplons avec la m\'ethode des domaines fictifs. La premi\`ere famille d'\'elements finis, qui correspond au choix fait dans un article pr\'ec\'edent (en l'absence de fissure), ne converge pas toujours lorsqu'elle est coupl\'ee avec les domaines fictifs. C'est pourquoi nous introduisons la seconde famille, pour laquelle nous pr\'esentons une analyse th\'eorique de convergence. Ces estimations d'erreur sont confirm\'ees par des validations num\'eriques, qui montrent qu'elles sont optimales.
BibTeX:
```@article{Bec-Rod-Tso-2009,
author={Éliane Bécache and Jerónimo Rodríguez and Chrysoula Tsogka },
title={Convergence results of the fictitious domain method for a
mixed formulation of the wave equation with a Neumann boundary
condition },
doi={10.1051/m2an:2008047 },
journal={Mathematical Modelling and Numerical Analysis },
year={2009 },
volume={43 (2) },
pages={377--398},
}
```