Séminaire POEMS sur les équations intégrales

Event type: Seminar (POEMS)
Start at: march 19, 2015
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Marc Bakry: "Analyse d'erreur a posteriori pour les équations intégrales"

Nous nous placerons dans le cadre de la diffraction d'une onde (acoustique ou électromagnétique) par un objet en régime harmonique. Plusieurs méthodes numériques existent mais nous nous intéresserons à la Méthode des Eléments Finis de Frontière (BEM). Elle est basée sur des formules de représentation intégrale des champs. Ces formulations présentent l'intérêt de ne nécessiter qu'un maillage surfacique, elles prennent en compte intrinsèquement la condition de radiation à l'infini tout en offrant une meilleure précision. Cependant, les difficultés inhérentes aux espaces fonctionnels entrant en jeu font qu'il n'existe pas ou peu d'outils permettant le contrôle automatique de l'erreur. Ces outils de mesure, appelés indicateurs d'erreur a posteriori, peuvent être intégrés dans des algorithmes de raffinement autoadaptatif afin de produire facilement des maillages optimaux. Je ferai dans un premier temps des rappels sur les formulations intégrales pour l'acoustique. Je présenterai ensuite quelques indicateurs, trouvés dans la littérature, développés pour les cas non oscillants (équation de Laplace). J'introduirai ensuite un nouvel indicateur « générique » qui tente de combler les lacunes des précédents. Je particulariserai dans le cas de l'acoustique 2D qui permet de faire facilement des preuves de concept, et je présenterai quelques courbes de convergence. Enfin, je discuterai rapidement de ce qui se passe si on s'intéresse à des indicateurs « goal-oriented », ainsi que des problèmes apparaissant en 3D.

Nabil Gmati: "Convergence d'algorithmes itératifs pour la diffraction d'ondes en domaine non borné et lien avec les méthodes de décomposition de domaines"

Nous nous intéressons à la résolution numérique d'un problème de propagation d'ondes en domaine non borné, modélisé par l'équation de Helmholtz. Nous utilisons la méthode de couplage entre éléments finis et représentation intégrale [A. Jami et M. Lenoir, 1978] qui consiste à résoudre un problème équivalent au problème d'origine en imposant sur une frontière fictive délimitant la zone de calcul, une condition aux limites issue de la représentation intégrale de la solution à l'extérieur. Nous analysons la convergence de divers algorithmes itératifs permettant la résolution du système linéaire obtenu. Nous montrons d’abord la convergence linéaire d'un algorithme de type richardson, interprété comme une technique de Schwarz avec recouvrement total [J.Liu et J.M. Jin, 2001], [F.Ben Belgacem, L.Fournié, N.G, F.Jelassi, 2003, 2005]. Ce premier algorithme est ensuite utilisé comme préconditionnement de la méthode GMRES [J.Liu et J.M. Jin, 2002]. Une analyse approfondie du comportement de ce second algorithme prouve sa convergence superlinéaire [N.G, B.Philippe, 2008] pour le problème discret. Pour le problème continu la méthodologie empruntée à des travaux de [R.Winther, 1980], se base sur des résultats de la théorie spectrale et nous permet de donner les taux de convergence en dimensions deux et trois [F.Ben Belgacem, N.G, F.Jelassi, 2009, 2010]. Ces algorithmes ont également été adaptés aux équations de Maxwell pour la diffraction d’ondes électromagnétiques, le calcul des noyaux de Green ont été optimisés grâce à la méthode multipôles rapide [E. Darrigrand, N.G., R. Rais, 2014] ainsi que pour des discrétisations par des méthodes de type Galerkin discontinu [M. Bouajaji, N.G., S. Lanteri, J. Salhi, A. Midani].