Simulations

Frontières artificielles

Les conditions aux limites transparentes pour les problèmes en domaine non borné

Motivations

Les problèmes de propagation d'ondes sont souvent posés en domaine non borné et une des questions cruciales pour leur résolution numérique, en régime transitoire comme en régime fréquentiel, est de savoir borner artificiellement le domaine de calcul. Les travaux développés pour répondre à cette question suivent essentiellement deux approches.

La première consiste à borner le domaine de calcul par des frontières artificielles sur lesquelles on écrit une condition aux limites dite transparente, c'est à dire une condition exacte telle que la frontière artificielle ne produit aucune réflexion. Cette condition peut en général s'exprimer à l'aide de l'opérateur de Dirichlet-Neumann. En régime harmonique il s'agit d'une condition qui, bien que non locale sur la frontière absorbante, est souvent utilisée en pratique pour un calcul par éléments finis. Par contre en régime transitoire cette condition devient également non locale en temps et il est alors souvent utile d'en définir des approximations locales (voir néanmoins les travaux sur le couplage avec les méthodes de potentiels retardés) appelées conditions aux limites absorbantes (CLA).

La deuxième approche consiste à entourer le domaine de calcul d'un milieu artificiel dans lequel les ondes sont atténuées, appelé couches absorbantes. Cette technique est en fait antérieure à celle des CLA et consistait avant 1994 à définir dans ces couches un modèle absorbant physique, ce qui donnait naissance à une réflexion parasite entre le domaine physique et la couche. Depuis 1994, Bérenger a introduit, pour les équations de Maxwell en régime transitoire, un nouveau modèle de couches dites parfaitement adaptées (en anglais Perfectly Matched Layers, PML) car aucune réflexion n'est créée à l'entrée dans la couche. Depuis, les PML ont été largement utilisées, étendues à d'autres équations, étudiées etc... surtout en régime transitoire et un peu en régime harmonique.

Nos travaux concernent ces deux approches, et sont essentiellement de deux natures:

  • Le développement et l'analyse de nouveaux types de conditions aux limites, par exemple pour des problèmes pour lesquels il n'existait pas d'alternative (PML en fréquentiel pour les équations de Galbrun, PML et éléments finis localisés pour les guides d'ondes élastiques) ou pour lesquels les alternatives n'étaient pas complètement satisfaisantes (PML pour l'acoustique en écoulement transitoire).
  • L'analyse de méthodes classiques ou déjà existantes (analyse de stabilité des PMLs, études des CLA et des PML par la méthode de Cagniard de Hoop).

Notons que, même si la problématique de départ est la même pour les problèmes en régime harmonique ou transitoire, les questions soulevées ne sont pas identiques. Cette différence est bien illustrée par nos travaux sur l'acoustique en écoulement en régimes transitoire et harmonique. Dans le premier cas, les PML "classiques" conduisent à des instabilités, ce qui nous a conduits à introduire un nouveau modèle de couches. Alors que dans le deuxième cas, le modèle classique permet d'obtenir une bonne approximation de la solution.

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