Modèles asymptotiques

Modèles asymptotiques et homogénéisation

Motivations

La prise en compte de l'effet de petites perturbations sur un modèle physique peut s'avérer très coûteuse en temps calcul, car elle nécessite le plus souvent une discrétisation assez fine (d'autant plus fine que la perturbation est petite!) du modèle continu. L'exemple typique dans les problèmes de propagation des ondes est la prise en compte de détails géométriques dont les dimensions sont petites devant la longueur d'onde.

Le développement de modèles approchés moins gourmands en temps de calcul et assez riches pour pouvoir rendre compte de l'effet des petites perturbations est possible dans certains cas : milieux périodiques, milieux dont une ou plusieurs dimensions sont très petites relativement aux autres, contraste élevé entre deux milieux, etc ... et offre donc une alternative très intéressante (voire nécessaire) pour la simulation numérique. La démarche adoptée pour l'établissement de ces modèles comprend le plus souvent trois phases :

  • obtention d'un ou de plusieurs modèles approchés via une technique heuristique adaptée (développement asymptotique, raccordement modal, etc ...),
  • justification théorique du fait que le modèle approché est asymptotiquement proche du modèle initial, et étude de l'ordre d'approximation,
  • établissement de schémas numériques adaptés (efficaces) et cas pratiques d'applications.

Nous avons en particulier travaillé sur:

  • L'obtention de conditions d'impédances généralisées permettant de mieux prendre en compte la diffraction d'ondes électromagnétiques par des objets non parfaitement conducteurs.
  • La modélisation de la propagation des ondes dans des domaines comportant des fentes minces.
  • Le calcul de la charge électrostatique à l'extrémité d'une pointe arrondie.
  • La modélisation de la diffraction des ondes par des structures filaires.

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