Gravitational Dynamical Systems

december, 2018
Publication type:
Doctoral these
Keywords :
Gravitation, mécanique céleste, relativité isochrone, systèmes auto-gravitants, galaxies , évolution, amas globulaires, dynamique, cosmologie , énergie noire
Abstract:

L’histoire séculaire des systèmes dynamiques puise ses origines dans le développement du cadre mathématique en astronomie. L’objet de cette thèse est l’étude de propriétés de la gravitation de ce point de vue de la dynamique à différentes échelles cosmologiques.

Dans la théorie du potentiel, l’isochronie définit généralement le mouvement d’oscillation harmonique de pendules. En 1959, le mathématicien et astronome Michel Hénon étend cette définition afin de caractériser les oscillations orbitales d’étoiles, autour du centre du système à symétrie sphérique auquel elles appartiennent. Dans ce cas, la période d’oscillation peut dépendre de l’énergie de l’étoile. Aujourd’hui, son potentiel isochrone est majoritairement utilisé en simulation numérique pour ses propriétés analytiques d’intégrabilité, mais demeure par ailleurs souvent méconnu. Dans cette thèse, nous revisitons la caractérisation géométrique de l’isochronie comme initiée par Michel Hénon et complétons ainsi la famille des potentiels isochrones en physique. La classification de cet ensemble sous l’action de divers groupes mathématiques met en évidence une relation privilégiée entre les isochrones. Nous montrons alors la nature keplérienne intrinsèque aux isochrones, laquelle est au cœur de la nouvelle relativité isochrone que nous présentons.

Les conséquences de cette relativité en mécanique céleste, à savoir la généralisation de la troisième loi de Kepler, celle de la transformation de Bohlin ou Levi-Civita, et le théorème de Bertrand, conduisent à l’analyse du résultat d’un effondrement gravitationnel. Une analyse isochrone est développée pour caractériser un état de quasi-équilibre de systèmes auto-gravitants isolés, comme certains amas stellaires ou galaxies dynamiquement jeunes, à partir de propriétés orbitales de leurs étoiles ou contenu physique.

A l’échelle cosmologique, la dynamique de l’univers dépend de sa composition énergétique. Elle peut s’exprimer sous forme d’un système dynamique conservatif, bien connu en écologie pour décrire la dynamique de populations variées. Ce modèle dit de Lotka-Volterra est exploité pour décrire un espacetemps globalement homogène et isotrope, dont les composantes peuvent être en interaction non uniquement gravitationnelle. Dans cet univers jungle, des comportements dynamiques effectifs à grande échelle peuvent alors se développer.

title (translation) :
Systèmes Dynamiques Gravitationnels
Abstract (translation) :

Dynamical systems have a centuries-long history with roots going back to the mathematical development for astronomy. In the modern formalism, the present thesis investigates dynamical properties of gravitation at different astrophysical or cosmological scales.

In potential theory, isochrony often refers to harmonic oscillations of pendulums. In 1959, the mathematician and astronomer Michel Hénon introduced an extended definition of isochrony to characterize orbital oscillations of stars around the center of the system which they belong to. In that case, the period of oscillations can depend on the energy of the star. Today, Michel Hénon’s isochrone potential is mainly used for its integrable property in numerical simulations, but is not widely known. In this thesis, we revisit his geometrical characterization of isochrony and complete the family of isochrone potentials in physics. The classification of this family under different mathematical group actions highlights a particular relation between the isochrones. The actual Keplerian nature of isochrones is pointed out and stands at the heart of the new isochrone relativity, which are presented together.

The consequences of this relativity in celestial mechanics — a generalization of Kepler’s Third law, Bohlin or Levi-Civita transformation, Bertrand’s theorem — are applied to analyze the result of a gravitational collapse. By considering dynamical orbital properties, an isochrone analysis is developed to possibly characterize a quasi-stationary state of isolated self-gravitating systems, such as dynamically young stellar clusters or galaxies.

At a cosmological scale, the dynamics of the universe depends on its energy content. Its evolution can be expressed as an ecological dynamical system, namely a conservative generalized Lotka-Volterra model. In this framework of a spatially homogeneous and isotropic spacetime, named Jungle Universe, the dynamical impact of a non-gravitational interaction between the energy components is analyzed. As a result, effective dynamical behaviors can arise.

BibTeX:
@phdthesis{Sim-2018,
    author={Alicia Simon-Petit },
    title={Gravitational Dynamical Systems },
    year={2018 },
    month={12},
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